傅里叶平衡

傅里叶平衡（Fourier Balance）是伊安·奎因为音类集合的离散傅里叶分量提出的几何表示。圆周上的每个音类提供一条单位向量；这些向量的合成结果说明某一周期结构在集合中是相互抵消，还是形成了明确的偏向。傅里叶平衡属于音类集合傅里叶分析的一部分，不能代替傅里叶分析的其他方法。

从集合到傅里叶系数

设 S 是十二平均律中的音类集合，音类以 0—11 表示。先用指示函数把集合写成十二维向量：

$$x_S(p) = \begin{cases} 1, & p \in S \\ 0, & p \notin S \end{cases},\quad p \in \mathbb{Z}_{12}.$$

例如，C 大三和弦可记作 S={0,4,7}，其指示向量只有第 0、4、7 位取 1。对这个向量作离散傅里叶变换，第 n 个系数为

$$F_n(S) = \sum_{p=0}^{11} x_S(p)\, e^{-2\pi i n p / 12} = \sum_{p \in S} e^{-2\pi i n p / 12}.$$

每个 Fn 都是复数。它的幅度和相位分别为

$$\lvert F_n\rvert = \sqrt{\bigl(\operatorname{Re}(F_n)\bigr)^2 + \bigl(\operatorname{Im}(F_n)\bigr)^2},\qquad \varphi_n = \arg(F_n).$$

幅度 |Fn| 表示相应周期结构的强度，相位 φn 表示这种结构在音类空间中的朝向。这里的“频率”是模 12 音类圆周上的周期数，不是以赫兹计量的声学频率。

平衡图的构成

第 n 个平衡把音类 p 映射到圆周上的 np（mod 12）位置：

$$b_n(p) = n p \pmod{12}.$$

由圆心指向该位置的单位向量是 e−2πinp/12。集合中所有单位向量的和就是 Fn(S)，所以第 n 个傅里叶性质可以写成严格的平衡条件：

$$S\text{ 具有第 }n\text{ 个傅里叶性质}\iff F_n(S)=0\iff \lvert F_n(S)\rvert=0.$$

合向量为零，说明各方向完全抵消；合向量越长，该分量上的偏向越强。每个音类贡献一条单位向量，其长度以列文（Lw）为单位；合向量 Fn(S) 即这些单位向量之和，其模长 |Fn| 以列文（Lw）计量，取值介于 0 与集合基数之间。

例如，集合 {0,1} 在 F6 上分别映射到 0 和 6，两条向量方向相反，故 F6({0,1})=0。全音音阶 {0,2,4,6,8,10} 的六个音类在 F6 上都映射到 0，因而 |F6|=6 Lw（达到集合基数的理论上限）。“平衡”所指的是向量能否抵消，不等同于音类在原始半音圆周上均匀分布。

各分量如何理解

F0 等于集合基数，记录集合含有多少个音类。F1 至 F6 才用于描述集合内部的周期结构；F7 至 F11 分别与 F5 至 F1 构成复共轭，幅度相同。

F6 将十二个音类归入两个全音集合的位置，反映奇数音类与偶数音类之间的数量关系。

F4 形成三个位置，对应三个减七和弦循环；某一减七集合的音类会集中在同一方向。

F3 形成四个位置，与增三和弦循环有关。奎因讨论的极端失衡集合是六音的“六声音阶”集合，不能简单等同于一组三音的增三和弦。

F2 形成六个位置，可显示二音抵消和三音抵消等关系。

F1 保留十二个位置，三全音对和增三和弦都能使向量相消。

F5 与 F1 具有相同的零点集合，但幅度仍提供不同的和弦性质坐标。

与模 12 移位的关系

傅里叶分量和模 12 移位都由循环群 ℤ12 的结构决定，但两者产生的划分不同。对第 n 个傅里叶分量，真正起作用的是群同态

$$\mu_n : \mathbb{Z}_{12} \to \mathbb{Z}_{12},\quad p \mapsto n p \pmod{12}.$$

若两个音类之差属于 μn 的核，它们在 Fn 中便具有相同相位。设 d=gcd(n,12)，则

$$\lvert\ker \mu_n\rvert = d,\qquad \lvert\operatorname{im}\mu_n\rvert = \frac{12}{d}.$$

因此 F2 形成 6 个等价类，每类 2 个音类：{0,6}、{1,7}、{2,8}、{3,9}、{4,10}、{5,11}。F6 形成 2 个等价类，每类 6 个音类，即偶数音类集合和奇数音类集合。

这不能直接称为 Tn 的轨道。反复施行 T2 所得的是两个轨道，每个轨道含 6 个音类；F2 所得的却是六个相位类，每类含 2 个音类。一般而言，Tn 的每条轨道含 12/gcd(n,12) 个元素，共有 gcd(n,12) 条轨道。Fn 的相位类数量和类的大小正好相反。两者的共同来源是 ℤ12 的循环群结构，而不是同一种等价关系。

音乐分析

傅里叶平衡可用于追踪一段音乐中和弦性质的连续变化。分析者先把每个垂直音响化为音类集合，再比较相邻时刻若干分量的幅度。奎因分析利盖蒂作品中的一个段落时，观察到 F1 的力逐渐减弱而 F5 增强，由此描述该段从偏向半音化音响到偏向自然音体系的过程。这里的结论来自整段音乐中各分量的共同轨迹，不是凭单个数值给和弦贴上风格标签。

非零分量的幅度在移位、倒影和取补集下保持不变，因而适合比较音类集合的类型；相位会随具体移位而改变，可用于辨认同一性质在音高空间中的位置。傅里叶平衡不处理八度、声部配置、节奏、音色或先后关系，实际分析仍须结合乐谱语境。

计算工具

傅里叶平衡计算工具列出 F0—F11 的复数值、幅度和相位，并绘制 F0—F6 的音类映射、单位向量及合向量。

参考文献

  1. QUINN I. General equal-tempered harmony: introduction and part I[J]. Perspectives of New Music, 2006, 44(2): 114-158.
  2. QUINN I. General equal-tempered harmony: parts 2 and 3[J]. Perspectives of New Music, 2007, 45(1): 4-63.
  3. LEWIN D. Special cases of the interval function between pitch-class sets[J]. Journal of Music Theory, 2001, 45(1): 1-29.